Bourbaki

习题 19, § 6

标签 08YH，永久不变。引用为 [Bourbaki, Tag 08YH]。

积分, IV, p. 140

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

令 ff 为在空间 R+∗=]0,+∞[\mathbf{R}_+^* = ]0, +\infty[ 和 pp-th 幂中定义的数值函数 ≥0\geq 0 可积为勒贝格测度 (1<p<+∞1 < p < +\infty)。 集合 F(x)=∫0xf(t) dtF(x) = \int_0^x f(t) \, dt 对于所有 x>0x > 0。

a) 证明当xx趋于0或+∞+\infty、F(x)=o(x(p−1)/p)F(x) = o(x^{(p-1)/p})时（使用Hölder的不等式）。

b) 证明函数 F(x)/xF(x)/x 是 pp-th 幂可积于 R+∗\mathbf{R}_+^* 且

∫0+∞(F(x)x)pdx≤(pp−1)p∫0+∞(f(x))pdx \int_0^{+\infty} \left( \frac{F(x)}{x} \right)^p dx \leq \left( \frac{p}{p-1} \right)^p \int_0^{+\infty} (f(x))^p dx

（哈代的不等式）。 （首先考虑f∈K(R+∗)f \in \mathscr{K}(\mathbf{R}_+^*)的情况；对于每个紧凑区间[a,b]⊂R+∗[a, b] \subset \mathbf{R}_+^*，获得积分上界

∫ab(F(t)t)pdt \int_a^b \left( \frac{F(t)}{t} \right)^p dt

通过部分积分并利用Hölder的不等式。）

解答

尚未写出解答。

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引用了

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