习题 8, § 6

令 $\mu$ 为区间 $X = [0, +\infty[$ 上的勒贝格测度。 a) 令$k > 1$、$h < k$为两个实数。 证明对于每个 $n \geq 1$ 和每个数 $p$，使得 $1 \leq p \leq +\infty$、函数 $f_n(x) = n^h / (x + n)^k$ 属于到 $\mathscr{L}^p$；表明对于 $p > 1/(k - h)$，$N_p(f_n)$ 趋于 0，而$1/n$ 则趋于 0，但是 $N_p(f_n)$ 的序列不受 $p < 1/(k - h)$ 的限制。 b) 设$k$为数$< 1$；证明对于每个$n > 1$和每个数$p$，使得$1 \leq p \leq +\infty$，函数$g_n(x) = n^k e^{-nx}$属于到$\mathscr{L}^p$；证明对于$p < 1/k$，$N_p(g_n)$趋向于0，而$1/n$则趋于0，但是$N_p(g_n)$的序列对于$p > 1/k$没有界限。 从a)和b)推出，如果$1 \leq p < q \leq +\infty$，则$\mathscr{L}^p$和$\mathscr{L}^q$在$\mathscr{L}^p \cap \mathscr{L}^q$上诱发的拓扑不具有可比性。 c) 如果$\mu$是区间$[0, 1]$上的勒贝格测度，类似地证明如果$p < q$，则阶$q$的均值收敛性拓扑严格地更细比阶的均值收敛性拓扑严格$p$（$\mathscr{L}^q$）。