习题 1, § 7

a) 令 $K$ 为 Hausdorff 局部凸空间 $E$ 的紧凸子集，$\mu$ 质量为 1 的$K$ 的正测量，$b_\mu$ 其重心。证明对于 $K$ 上凹且下半连续的每一个正函数 $f$，都有 $f(b_\mu) \geq \int^* f d\mu$。 （$f$有界（TVS，II, §2，Exer.32），因而$-f$是$\mu$可积的注。）由此，结论如果$f$是下半连续（或上半连续）函数 $K$既是凸的又是凹的，然后是$\int f d\mu = f(b_\mu)$。

b) 令$I$为$\mathbf{R}$的区间$[0,1]$，$\mathscr{M}_+(I)$的$K$子集，由总质量1的正测量形成，对于模糊拓扑来说是凸且紧的，并令$j : x \mapsto \varepsilon_x$为典范嵌入 $I$ 变为 $K$，这是 $I$ 到 $K$ 的子空间的同胚。对于每个测量$\nu \in K$，集合$g(\nu) = \sum_{x \in I} \nu(\{x\})$；这是函数，在$K$中既是凸的又是凹的；此外，如果$g_n(\nu)$是$I$的所有有限子集$A$的$\nu(A)$至多有$n$元素的上半连续，则$g_n$是$K$上的上半连续，并且$g(\nu) = \lim_{n \to \infty} g_n(\nu)$ 对于每个 $\nu \in K$，因而 $g$ 对于 $K$ 上的每个测度 $\lambda$ 都是 $\lambda$ 可积的。令 $\mu$ 为 $K$ 的度量，使得 $\int f d\mu = \int_I f(j(x)) dx$ 对应于 $f \in \mathscr{K}(X; \mathbf{R})$，其为正且总质量为 1；证明 $b_\mu$ 是$I$ 和$\int g d\mu \neq g(b_\mu)$ 的勒贝格测度。