习题 2, § 7

令$X$为$X$上下半连续数值函数的紧空间、$\mathscr{P}$集合，在$]-\infty, +\infty]$中取值。假设 $\mathscr{P}$ 包含为有限常数；对于每个函数 $h \in \mathscr{P}$ 以及 $X$ 上的每个积极措施 $\mu$，定义$\mu^*(h)$ 和 $> -\infty$（§4，Exer.5）。

a) 对于 $X$ 上的两个积极措施$\mu, \nu$，如果每函数 $h \in \mathscr{P}$ 都写$\mu \prec \nu$，则$\mu^*(h) \leq \nu^*(h)$。证明关系$\mu \prec \nu$是$\mathscr{M}_+(X)$上的先序关系；它意味着$\mu(1) = \nu(1)$，$c\mu \prec c\nu$对于所有$c > 0$，以及$\mu + \lambda \prec \nu + \lambda$对于每个措施$\lambda \in \mathscr{M}_+(X)$。

b) 假设$\mathscr{P} + \mathscr{P} \subset \mathscr{P}$ 和$c \cdot \mathscr{P} \subset \mathscr{P}$ 对应$c > 0$。令$\mu$为$X$、$f$函数在$\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$的正测度。用函数 $h \geq f$ 属于到 $\mathscr{P}$ 的 $Q_f$ 集合表示，并用 $\lambda \in \mathscr{M}_+(X)$ 的度量 $M_\mu$ 集合表示，使得 $\lambda \prec \mu$。表明

（对于每个函数$g \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$，让$p(g) = \inf_{h \in Q_g} \mu^*(h)$。证明$\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$和$c > 0$中$g, g'$的$p(g + g') \leq p(g) + p(g')$和$p(cg) = c \cdot p(g)$；另一方面证明$M_\mu$与集合的度量相同） $\lambda \in \mathscr{M}_+(X)$，对于每一个函数 $g \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$，都有 $\lambda(g) \leq p(g)$，并且结论乘以应用 Hahn-Banach 定理。）如果 $\mathscr{P}$ 中的函数是连续的，并且如果 $S_0(f)$ 是$Q_f$的下包络线，然后也是$\mu(S_0(f)) = \sup_{\lambda \in M_\mu} \lambda(f)$。

c) 如果$\mathscr{P}$中的函数在X上连续且有限的集合$\mathscr{P}_0$在$\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$中总计，则关系$\mu \prec \nu$在$\mathscr{M}_+(X)$上为序关系。如果测度 $\nu \in \mathscr{M}_+(X)$ 对于这个序关系是最大的，那么每个测度 $\nu'$ 都使得 $0 \leqslant \nu' \leqslant \nu$ （对于通常的阶）（使用 a) 通过矛盾论证）。如果 $\mathscr{P}_0 = \mathscr{P}$ 和 $\mathscr{P}$ 是总和，则对于序关系 $\mu \prec \nu$，每个递增有向集合都承认$\mathscr{M}_+(X)$ 中对于这个关系有一个上等；特别是，$\mathscr{M}_+(X)$ 对于这个关系是*归纳*的。

d) 假设$\mathscr{P}$中的函数是连续且有限的，$\mathscr{P}$是$\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$中的总和，并且$\mathscr{P} + \mathscr{P} \subset \mathscr{P}$和$c \cdot \mathscr{P} \subset \mathscr{P}$对于所有$c > 0$。对于每个函数$f \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$，用$S(f)$表示函数$h \in -\mathscr{P}$的下包络线，使得$f \leqslant h$；对于每个$\varepsilon > 0$，用$x \in X$的$K_{f,\varepsilon}$集合表示，使得$S(f)(x) \geqslant f(x) + \varepsilon$。证明以下条件是等价的： α) 测量 $\mu \in \mathscr{M}_+(X)$ 是序关系 $\lambda \prec \lambda'$ 的最大值。 β) 对于每个函数 $f \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$，$\mu(S(f)) = \mu(f)$。 β') 对于每个函数 $f \in \mathscr{P}$，$\mu(S(f)) = \mu(f)$。 γ) 对于每个函数$f \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$和每个$\varepsilon > 0$、$\mu(K_{f,\varepsilon}) = 0$。 γ') 对于每个函数$f \in \mathscr{P}$和每个$\varepsilon > 0$、$\mu(K_{f,\varepsilon}) = 0$。 （将 b）应用于 $-\mathscr{P}$。）

e) 在 d) 的假设下，证明如果 $\mu$ 和 $\mu'$ 是 X 上的两个正测度，且对于关系 $\prec$ 来说是最大的，那么 $\mu + \mu'$ 也是最大的。由此，推断出此序关系最大的正测量集合是通常的序关系 $\leqslant$ 的格子。