习题 6, § 7

令$X$为非空紧致空间，$\mathscr{H}$为$\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$包含常数的线性子空间，并分离$X$的点。由$\mathscr{H}$（Exer.2）定义的关系$\lambda \prec \mu$则为*等价关系*，并且点$\mathscr{H}$是Exer意义上的极值。 3 与点 $\mathscr{H}$ - No. 3 意义上的极值相同。 令$F$为$X$包含$\mathrm{Ch}_{\mathscr{H}}(X)$的闭子集；对于每个$x \in X$，用$\mathscr{M}_x^F$集合表示总质量为1的$X$上$\mu$的正测量，使得$\varepsilon_x \prec \mu$和$\mathrm{Supp}(\mu) \subset F$；在阶中$\varepsilon_x \in \mathscr{M}_x^F$，$x \in F$是必要且充分的； 关系 $x \in \mathrm{Ch}_{\mathscr{H}}(X)$ 相当于$\mathscr{M}_x^F = \{\varepsilon_x\}$。对于$F$上定义的每个有界数值函数$f$以及每个$x \in X$、集合

是有限的数。

a) 证明$\mathscr{C}(F; \mathbf{R})$到$\mathbf{R}$的映射$f \mapsto \overline{H}_x^F(f)$是递增，正齐次且凸。如果$h \in \mathscr{H}$，则$\overline{H}_x^F(h) = h(x)$。

b) 对于每$x \in X$、每小节$\mu \in \mathscr{M}_x^F$ 和每函数 $f \in \mathscr{C}(F; \mathbf{R})$、$\underline{H}_x^F(f) \leq \int f d\mu \leq \overline{H}_x^F(f)$。相反，如果对于函数$f_0 \in \mathscr{C}(F; \mathbf{R})$，$\gamma$是实数使得$\underline{H}_x^F(f_0) \leq \gamma \leq \overline{H}_x^F(f_0)$，那么存在一个测度$\mu \in \mathscr{M}_x^F$使得$\gamma = \int f_0 d\mu$。

c) 证明对于函数 $g \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$，以下条件是等价的： $\alpha$ 对于每一个 $x \in X$ 和每个小节 $\mu \in \mathscr{M}_x^F$，一个人有 $g(x) = \int g d\mu$。 $\beta$ 每$x \in X$，$\underline{H}_x^F(g|F) = \overline{H}_x^F(g|F) = g(x)$。 $\gamma$ 对于每个 $\varepsilon > 0$，$\mathscr{H}$ 中存在函数的两个有限序列 $(h_i'), (h_j'')$，这样，设定 $h' = \sup(h_i')$、$h'' = \inf(h_j'')$，其中一个有$h' \leq g \leq h''$ 和$h'' - h' \leq \varepsilon$。 （要看到$\beta$意味着$\gamma$），请按照GT，X, §4, No. 1，命题2进行论证。）

当函数$g \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$具有上述等价性质时，称其为$\mathscr{H}$调和； $\mathscr{H}$谐波函数的集合$\mathscr{H}^c$是$\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$包含$\mathscr{H}$的闭线性子空间；它独立于所考虑的闭合集合$F \supset \mathrm{Ch}_{\mathscr{H}}(X)$。 $(\mathscr{H}^c)^c = \mathscr{H}^c$，$\mathscr{H}^c$定义的$\mathscr{M}_+(X)$中的等价关系与$\mathscr{H}$定义的关系$\lambda \prec \mu$相同；因而$\mathrm{Ch}_{\mathscr{H}^c}(X) = \mathrm{Ch}_{\mathscr{H}}(X)$。 映射 $g \mapsto g|F$ 是 $\mathscr{H}^c$ 的严格递增的 等距到其在 $\mathscr{C}(F; \mathbf{R})$ 中的像（因此是 $\mathscr{C}(F; \mathbf{R})$ 的闭子空间）。

d) 对于$X$，取$\mathbf{R}$的区间$[0,1]$，对于$\mathscr{H}$向量空间，取限制至$X$的第二个次数多项式在$\mathbf{R}$上的多项式。证明$\mathscr{H}^c$与$\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$中$\mathscr{H}$的闭包$\overline{\mathscr{H}}$不同。

e) 证明在阶中$\mathrm{Ch}_{\mathscr{H}}(X) = X$，$\mathscr{H}^c = \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$是充分必要的（要证明条件是必要的，使用$b$）。

f) 证明如果 $\mathscr{H}$ 是格序的（在其他字中，是 Riesz 空间），则 $\mathscr{H}^c = \overline{\mathscr{H}}$。给出例，其中 $\mathscr{H}$ 不是晶格有序的，并且 $\mathscr{H}^c = \overline{\mathscr{H}}$。

g) 设$\mathscr{E}_{\mathscr{H}}$为$\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$包含$\mathscr{H}$的最小的闭子集，使得$\mathscr{E}_{\mathscr{H}}$属于至$\mathscr{E}_{\mathscr{H}}$中任意两个函数的下包络线$\inf(u, v)$。证明以下性质是等价的： $\alpha$$f \in \mathscr{E}_{\mathscr{H}}$； 每 $x \in X$ 和每小节 $\mu \in \mathscr{M}_x^X$、$\int f d\mu \leq f(x)$ $\beta$； 每 $x \in X$ $\gamma$ $\overline{H}_x^X(f) = f(x)$； $\delta$ 对于每个$\varepsilon > 0$，$\mathscr{H}$中存在函数的有限序列$(h_i)$，使得$f \leq \inf(h_i) \leq f + \varepsilon$。 （要看到 $\beta$ 蕴含 $\gamma$），请使用 $b$。） 由此推论$\mathscr{E}_{\mathscr{H}}$是尖凸锥体，$\mathscr{E}_{\mathscr{H}} \cap (-\mathscr{E}_{\mathscr{H}}) = \mathscr{H}^c$。证明$\mathscr{E}_{\mathscr{H}}$中的每个函数在$X$中至少有一个点达到$\mathrm{Ch}_{\mathscr{H}}(X)$的下确界。