习题 9, § 7

令Y为拓扑空间，其基础集合为$\mathbf{R}^2$中的乘积$I \times \{-1, 0, 1\}$，其中$I = [0, 1]$；对于每个$a \in I$和每个$\varepsilon > 0$，令$U_{a, \varepsilon}$为$(x, y) \in Y$的集合，使得$|x - a| \leq \varepsilon$和$(x, y)$不同于$(a, 1)$和$(a, -1)$； 集合 $\{(x, y)\}$，对于 $y \neq 0$ 和 $x \in I$ 以及集合 $U_{a, \varepsilon}$ 形式基，对于 Y 上的拓扑，其中 Y 是不可度量的紧致空间 (cf. GT，IX, §2，锻炼 13 d))。用X表示Y的拓扑和空间，并将集合简化为点$\omega$。令 $\mathscr{H}$ 为 X 上连续有限数值函数 $h$ 的集合，使得

对于所有 $x \in I$ 和 $h(\omega) = \int_0^1 h(x,0)\, dx$。证明 $\mathrm{Ch}_{\mathscr{H}}(X)$ 由点 $(x,y)$ 组成，使得 $y \neq 0$ 和 $x \in I$，但不存在 X 上质量 1 的正测度 $\mu$，使得对于所有 $h \in \mathscr{H}$ 和 $\mu(X - \mathrm{Ch}_{\mathscr{H}}(X)) = 0$ 都有 $h(\omega) = \mu(h)$。