习题 10, § 1

令 T 为拓扑空间，且$\mu$为 T 的正测度；假设 T 是 $\mu$ 可积的集合 $T_n$ ($n \geq 0$) 的序列的并。用$\mathfrak{C}$表示由紧凑子集生成的T的子集的族。 a) 设 X 为 Lusin 空间。对于 T 到 X 中的每个 $\mu$-可测量映射 $f$，存在映射 $f_m : T \to X$ 的序列具有以下属性： $\alpha)$ 对于 $\mu$ - 几乎每个 $t \in T$， $f(t) = \lim_{m \to \infty} f_m(t)$； $\beta)$ 对于每个整数 $m$，在集合 $A_j \in \mathfrak{C}$ 中存在有限的 T 划分，使得 $f_m$ 在每个集合 $A_j$ 上都是常数（对于以下情况，约化 T 的集合 $T_n$ 形式划分，其中 $T_0$ $\mu$ 可忽略不计，$T_n$ 对于 $n \geq 1$ 是紧凑的，其中X 是波兰语空间）。 b) 令$X_1, \ldots, X_p$为Lusin空间，Y为拓扑空间，$X_1 \times \cdots \times X_p$的$g$映射进入Y，$f_i$（对于$1 \leq i \leq p$）为$\mu$可测映射 T 变为 $X_i$。假设对于$1 \leq i \leq p$，$X_i$到Y的部分映射$x_i \mapsto g(x_1, \ldots, x_p)$对于任何$x_1, \ldots, x_{i-1}, x_{i+1}, \ldots, x_p$都是连续的。证明 T 到 Y 的映射 $t \mapsto g(f_1(t), \ldots, f_p(t))$ 是 $\mu$ 可测的。