习题 3, § 3

令 E 为集合和 $\mathscr{T}$ E 的子集的部落。用 E 的映射 f 的 $\mathscr{M}$ 集合表示为 $\overline{\mathbf{R}}_+$，使得 $x \in E$ 的集合其中 $f(x) \geq c$ 属于每$c \in \overline{\mathbf{R}}_+$ 到$\mathscr{T}$。

a) 显示$\mathscr{M}$属于到$\mathscr{M}$的元素每序列优于极限和极限劣（第一个研究序列即递增或递减）。

b) 证明$\mathscr{T}$是特征为函数属于到$\mathscr{M}$的E的子集中的集合。

c) 令$f \in \mathscr{M}$。对于 $\overline{\mathbf{R}}_+$ 的每个 Borel 子集 B，集合 $f^{-1}(B)$ 属于到 $\mathscr{T}$（$\overline{\mathbf{R}}_+$ 子集 B 的集合，使得$f^{-1}(B) \in \mathscr{T}$ 是一个部落，包含间隔$[c, +\infty]$）。

d) 令$f_1, \ldots, f_n$在$\mathscr{M}$中，并令$\varphi$为$(\overline{\mathbf{R}}_+)^n$到$\overline{\mathbf{R}}_+$的Borel映射；证明E的映射$x \mapsto \varphi(f_1(x), \ldots, f_n(x))$转化为$\overline{\mathbf{R}}_+$属于到$\mathscr{M}$。由此推导出$\mathscr{M}$的元素每级数$\mathscr{M}$包含和。

e) 证明$\mathscr{M}$是有限正$\mathscr{T}$步函数的递增序列极限集合。