习题 7, § 3

令$T$为拓扑空间，$\Phi$为$T$的子集的族，$m$为$\Phi$到$\mathbf{R}$的相对有界加法映射（cf.Exer.1）。 Assume that there exists an open covering $\mathscr{U}$ of $T$ such that $\Phi$ consists of the Borel subsets of $T$ contained in the union of a finite number of elements of $\mathscr{U}$. 此外，假设对于每个$A \in \Phi$和每个$\varepsilon > 0$，存在$T$的紧子集$K$和$T$的开子集$U$，使得$K \subset A \subset U$、$U \in \Phi$和$|m|(U - K) < \varepsilon$。 证明在 $T$ 上存在一个测度 $\mu$（不一定是正数），这样对于所有 $A \in \Phi$ 都有 $m(A) = \mu^*(A)$，并且这样的测度 $\mu$ 是唯一的（在引入 Exer.1 c 的分解 $m = m_+ - m_-$ 时），约化对于 $m$ 取正数的情况值；首先处理$T \in \Phi$的情况，并观察$m$则内部是正则的；最后，通过粘贴措施来处理一般情况）。