习题 8, § 3

令 $T$ 为拓扑空间，$m$ 为 $\mathscr{B}(T)$ 到 $\mathbf{R}$ 的有界可数加法 (cf. Exer. 1d)) 映射。用$T$的Borel子集$A$的$\mathscr{T}$集合表示，具有以下性质：对于每个$\varepsilon > 0$，存在一个闭集合$F$和一个开集合$U$ $T$使得$F \subset A \subset U$和$|m|(B) < \varepsilon$对于$U - F$的每个Borel子集$B$（在其他字，$|m|(U - F) < \varepsilon$）。证明$\mathscr{T}$是$T$的子集的部落（首先观察$T \in \mathscr{T}$和$\mathscr{T}$是一个部落；然后就足以证明如果$(A_n)_{n \in \mathbf{N}}$是成对的不相交的元素的序列） $\mathscr{T}$、集合$A = \bigcup_{n \in \mathbf{N}} A_n$属于至$\mathscr{T}$；为此，选择关闭集合$F_n$并打开集合$U_n$，使得$F_n \subset A_n \subset U_n$和$|m|(U_n - F_n) < \varepsilon/2^n$，然后集合$F = F_0 \cup \cdots \cup F_p$为$p$足够大和$U = \bigcup_{n \in \mathbf{N}} U_n$）。