习题 9, § 5

记号和假设是前面的习题的假设。令 $(\mu_n)$ 为度量 D 的 $\mathscr{M}_+^b$ 中的柯西序列；表明序列 $(\mu_n)$ 是收敛的（这给出了新的证明，因为空间 $\mathscr{M}_+^b$ 是紧拓扑的波兰语）。可以这样进行：

a) 设$\varepsilon > 0$和$a > 0$为两个实数；存在 T 的有限子集 F 使得 $\sup_n \mu_n^\bullet(T - F^a) \leq \varepsilon$ (选择整数 $N \geq 1$ 和 T 的紧凑子集 K 使得 $\sup_{n \geq N} D(\mu_n, \mu_N) \leq \varepsilon/2$ 和 $\mu_N^\bullet(T - K) \leq \varepsilon/2$；由此推出 $\sup_{n \geq N} |\mu_n^\bullet(T) - \mu^\bullet(T)| \leq \varepsilon$ 和 $\sup_{n \geq N} \mu_n^\bullet(T - K^{a/2}) \leq \varepsilon$；最后， T 的选择有限子集 F，使得 $K^{a/2} \subset F^a$ 和 $\sup_{n < N} \mu_n^\bullet(T - F^a) \leq \varepsilon$。

b) 设 $\varepsilon > 0$；存在 T 的紧凑子集 K，使得 $\sup \mu_n^\bullet(T - K) \leq \varepsilon$（对于 T 的每个整数 $p \geq 1$ 选择有限子集 $F_p$，使得 $\mu_n^\bullet(T - (F_p)^{2^{-p}}) \leq \varepsilon/2^p$ 和集合 $K = \bigcap_{p \geq 1} (F_p)^{2^{-p}}$）。

c) 从 b) 推出柯西序列 $(\mu_n)$ 具有收敛子序列（对于度量 D）。