习题 5, § 1

令 $(\mu_n)$ 为 T 上的正测度序列，在 $\mathscr{M}(T)$ 中准强收敛于 $\mu$（第 III, §1，Exer. 8）。

a) 证明如果 T 的映射 $f$ 到拓扑空间 G 中对于每个 $n$ 是 $\mu_n$ 可测的，那么它是 $\mu$ 可测的（利用 Ch 的习题 6 b）。 IV, §1）。

b) 令 $f$ 为 T 的映射到 Banach 空间 F，这对于每个 $n$ 本质上是 $\mu_n$ 可积的。证明如果序列 $(\mu_n^* (|f|))$ 有界，则 $f$ 本质上是 $\mu$ 可积（例 2）。通过例表明不一定有$\int f \, d\mu = \lim_{n \to \infty} \int f \, d\mu_n$（在紧凑的空间上取$\mu_n$点测度，从而得到$\lim \| \mu_n \| = 0$）；然而，当 $f$ 有界且具有紧支撑时，关系成立。