习题 10, § 5

a) 令 $\mu$ 为局部紧凑空间 $T$ 上的扩散正测度 $\neq 0$。证明在函数 $f_n$ 的 $\mathscr{L}^1(T, \mu)$ 序列中存在这样的情况：对于所有 $n$ 存在 $N_1(f_n) = 1$，并且分散测度 $f_n \cdot \mu$ 的序列模糊地收敛于点测度 $\varepsilon_a$。由此推断 $L^1(T, \mu)$（因此也$L^\infty(T, \mu)$）不是自反的。

b) 令$\nu$为$T$的原子正测度，其支持度为无限。令$A$为最小的集合，携带$\nu$，$B$一个$A$的可数无限子集，以及$\lambda$度量$\varphi_B \cdot \nu$。证明 $L^\infty(T, \lambda)$ 的对偶不可分，因此不能同构于 $L^1(T, \lambda)$ (cf. TVS, I, §2, Exer. 1)。

c) 从a)和b)推出，对于局部紧致空间$T$的正测度$\mu$使得$L^1(T, \mu)$是自反的，$\mu$的支持是有限的是必要且充分的（利用Exer.9）。