习题 13, § 5

令 T 为局部紧致空间，$\mu$ T 的正测度，$\mathscr{L}^1(T, \mu)$ 中函数的 $(f_n)$ 序列； 集合 $\mu_n = f_n \cdot \mu$ 并且，对于每个 $\mu$ 可测量集合 A，

a) 证明如果 T 不是紧的，则可能发生序列 $(f_n)$ 不受 $\mathscr{L}^1(T, \mu)$ 的限制，但积分 $\int f_n g \, d\mu$ 的序列对于每个 $g \in \mathscr{H}(T)$ 有界。

b) 证明如果序列$(\mu_n(A))$对于T的每个子集A减少到点并且对于每个开集合A都有界，使得$\mu$在A边界上引起的测度具有有限支撑，那么序列$(f_n)$是$\mathscr{L}^1$ 有界，或者，等价于范数 $(\| \mu_n \|)$ 的序列有界。 （首先证明 T 的每个点 $t_0$ 都承认一个开邻域 U，使得数 $|\mu_n|(U)$ 的序列是有界的。为此，有人通过证明进行反证论证，在相反的情况下，可以构造严格递增的整数的序列$(n_k)$，$t_0$社区的递减序列$(U_k)$，以及集合四元的序列$(W_k)$为$\mu$（第IV, §5章， Exer 17）具有以下属性：$\overline{U}_k \subset U_{k-1}$，$\mu(U_k - \{t_0\}) \leq 1/k$，$|\mu_{n_i}|(U_k - \{t_0\}) \leq 1$，$i < k$，$\overline{W}_k \subset U_k - \overline{U}_{k+1}$，最后

最后，考虑 $W_k$ 的并 W，以获得矛盾（“滑动驼峰方法”）。然后通过类似的论证证明存在 T 的紧子集 K，使得序列 $|\mu_n|(T - K)$ 有界。）

c) 从 b) 推导出，如果对于 T 的每个开集合 A，序列 $(\mu_n(A))$ 有界，则序列 $(f_n)$ 在 $\mathscr{L}^1$ 内有界。

d) 在区间$[0, 1]$，如果对$\mu_n$采取由点$t = 0$处的质量n和点$t = 1/n$处的质量$-n$定义的测量，则序列$(\mu_n(A))$对于每个开有界集合 A 对于所有措施 $|\mu_n|$ 都是四次方；然而，范数$\| \mu_n \|$的序列没有界限。类似地，如果对$\mu_n$采取由点$t = 1/n$处的质量n和点$t = 1/(n+1)$处的质量$-n$定义的测量，则序列$(\mu_n(A))$对于$[0, 1]$中包含的每个区间A都有界（因此对于每个有限子集 A) 没有序列 $(\| \mu_n \|)$ 有界。