习题 16, § 5

a) 令$(f_n)$为$\mathscr{L}^1(\mathrm{T}, \mu)$中函数的序列。证明以下条件是等价的：

α) 对于弱化的拓扑 $\sigma(L^1, L^\infty)$，序列 $(\widetilde{f}_n)$ 收敛于 $L^1$。

对于弱化的拓扑，$\widetilde{f}_n$的β)集合在$L^1$相对紧凑，$f_n \cdot \mu$的序列在$\mathscr{M}(\mathrm{T})$模糊收敛。

γ) 对于$\mathrm{T}$的每个开子集$\mathrm{U}$，数$\int_{\mathrm{U}} f_n \, d\mu$的序列收敛于$\mathbf{R}$。

（为了证明 β）蕴含 α），请使用 Exer 的准则 α）。 15 和可测量的函数的定义。为了证明 γ) 蕴含 β)，首先使用 Exer 考虑空间 $L^1(\mathbf{N})$ 的特殊情况（对于由每个点处的质量 +1 定义的离散测量）。 15 个 TVS，IV, §2。在一般情况下，应用 Exer 的准则 z)。 15 到约化对于 $L^1(\mathbf{N})$ 的情况，通过将每个 $f_n$ 与可和序列 $(\int_{\mathrm{U}_m} f_n \, d\mu)_{m \in \mathbf{N}}$ 相关联。）

b) 从这些结果推断，在 $L^1$ 中，弱化的拓扑的每个柯西序列对于拓扑是收敛的。

c) 在区间 $\mathrm{T} = [0, 1]$ 上，令 $\mu$ 为勒贝格测度，对于每个整数 $n \geqslant 1$，令 $\mu_n$ 为点 $k/n$ ($0 \leqslant k < n$) 处的质量 $1/n$ 定义的测度；令$\nu$为$\mathrm{T}$的正测度，使得$\mu = g \cdot \nu$、$\mu_n = f_n \cdot \nu$（Exer. 4 b））。证明对于 $\mathrm{T}$ 的每一个有限子集 $A$ 以及对于每个开路集合 $A$，序列 $(\mu_n)$ 模糊地收敛于 $\mu$，$\mu_n(A)$ 趋于 $\mu(A)$，使得由$A$边界上的$\nu$有有限支撑，但是对于所有开集合$U \subset \mathrm{T}$（cf.Exer.13b）），$\mu_n(U)$并不倾向于$\mu(U)$。