习题 25, § 5

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积分, V, p. 105

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

a) 如果 $u$ 和 $v$ 是任意两个实数，则证明，对于 $1 < p < +\infty$ ，不等式

|u + v|^p \leq |u|^p + pvu|u|^{p-2} + a \sum_{r=2}^{[p]} |v|^r |u|^{p-r} + b|v|^p,

其中

a

和

b

是两个仅取决于

p

的常数，

[p]

是

p

的积分部分（FRV，III, §2，Exer.6）。

b) 令 $(\tilde{f}_n)$ 为序列，对于弱化的拓扑 ( $1 < p < +\infty$ )，其在 $L^p$ 中收敛至 0。证明存在 $(f_n)$ 的子序列 $(f_{n_k})$ ，使得在设定 $s_m = \sum_{k=1}^m f_{n_k}$ 上，有

\left| \int s_{m-1}|s_{m-1}|^{p-2} f_{n_m} \, d\mu \right| \leq 1

（定义序列

(n_k)

递归）。由此推断，使用 a) 和 Hölder 的不等式，如果

p > 2

则存在两个常数

a, b

使得

N_1(|s_n|^p) \leq N_1(|s_{n-1}|^p) + a + bN_1(|s_{n-1}|^{p-2}),

如果

1 < p \leq 2

存在一个常数

c

使得

N_1(|s_n|^p) \leq N_1(|s_{n-1}|^p) + c.

结论那个

N_p(s_n) = O(n^{1/2}) \quad \text{for } p > 2 \\ N_p(s_n) = O(n^{1/p}) \quad \text{for } 1 < p \leq 2.

c) 表明前面的结果不能总体上可以改进（cf.Exers.19和20b））。

解答

尚未写出解答。

被以下引用

无。