习题 26, § 5

令 $\mu_1, \ldots, \mu_m$ 为局部紧凑空间 T 上的有限测度数，可以将其写为形式 $\mu_k = f_k \cdot \mu$，其中 $\mu$ 是测度 $\geq 0$ 和 $|f_k| \leq 1$ (No. 9)。

a) 令 $\Phi$ 为函数的集合，在 $\mathbf{R}^m$ 上定义且正齐次，使得 $u(f_1, \ldots, f_m)$ 对于每个函数 $u \in \Phi$ 是局部 $\mu$ 可积的。证明如果$\Phi$中函数的序列$(u_n)$均匀收敛于$\mathbf{R}^m$到函数$u$的每个紧致子集，则$u(\mu_1, \ldots, \mu_m)$是序列的极限 $\mathscr{M}(T)$ 上针对准强拓扑的措施$u_n(\mu_1, \ldots, \mu_m)$（第III, §1，Exer.8）。

b) 假设$u \in \Phi$在$\mathbf{R}^m$上连续。显示映射

$(\mathscr{M}(T))^m$到$\mathscr{M}(T)$对于准强拓扑是连续的（首先考虑$u$是Lipschitz的情况；然后使用a）和Stone–Weierstrass定理）。

c) 假设$u$在$\mathbf{R}^m$上连续。令$g$为$\mathscr{H}(T)$中的任意函数，K为其支持度。对于每个$\varepsilon > 0$，证明存在由相对紧集形成的K的有限开覆盖$(A_i)$，使得对于K的每个有限开覆盖$(B_j)$，更细比$(A_i)$，并且对于T的连续映射的每个家庭$(h_j)$进入$[0, 1]$使得$h_j$在$B_j$有其支持并且使得$\sum_j h_j(t) = 1$在K上，有一个

（首先考虑$u$是Lipschitz并且$f_k$是连续的情况，然后传递到$u$是Lipschitz并且$f_k$是局部可积的情况，最后是使用Stone–Weierstrass定理的一般情况）。

d) 在$\mathbf{R}^2$中，当$x_1/x_2$为无理数时，令$u(x_1, x_2)$为等于$\sqrt{x_1^2 + x_2^2}$的正齐次函数，反之则为0。令$\mu$为$T = [0, 1]$上的勒贝格测度，并令$\nu$为$d\nu(t) = t \, d\mu(t)$定义的T上的测度。证明如果$g$是T上的连续函数$\geq 0$，则$\sum_j u(\int gh_j \, d\mu, \int gh_j \, d\nu)$相对于$g$支持的有限开覆盖​​的有向集合不会趋向于任何极限。