习题 8, § 5

a) 令$\nu$为$T$的正原子测度，并令$A$为$T$的$\nu$可积子集。证明$\nu(X)$的值集合，当$X$超过$\nu$的集合-$A$的可积子集，在$\mathbf{R}$是闭的。 （令$M$为最小的集合携带$\nu$。假设$A \cap M$无穷大并将$A \cap M$的点排列在序列$(a_n)$中，考虑映射将乘积空间$\{0,1\}^\mathbf{N}$的$\varphi$转化为$\varphi((\varepsilon_n)) = \sum_n \varepsilon_n \nu(\{a_n\})$定义的$\mathbf{R}$，并证明它是连续的。）

b) 从 $a$) 和 Exer 推导出来。 7 b) 如果$\mu$是$T$上的任何正测度，并且$A$是$T$的$\mu$可积子集，则$\mu(X)$的值的集合，因为$X$会溢出$\mu$的集合-$A$的可积子集，在$\mathbf{R}$关闭。 扩展这个结果适用于$\mu$ 是$T$ 上的任何实测度。

c) 从 Exer 推导出来。 7 b) 如果$\mu$是$T$上的扩散实测度，则$\mu(X) = \mu^+(X) - \mu^-(X)$的值的集合，其中$X$超过$T$的$|\mu|$可积子集的集合，是$\mathbf{R}$ 的闭区间（有界或无界）。

d) 在非紧致局部紧致空间$T$上给出原子正测度$\nu$的例，使得$\nu(X)$的值的集合，其中$X$运行超过集合 $\nu$-$T$的可积子集，不是封闭的（取$\nu$使得$\inf_{t \in T} \nu(\{t\}) > 0$）。