Bourbaki

习题 12, § 6

标签 095S，永久不变。引用为 [Bourbaki, Tag 095S]。

积分, V, p. 110

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

a) 令 gg 为在 R\mathbf{R} 的紧凑区间 I=[a,b]I = [a, b] 上定义的有限数值函数。我们称x∈Ix \in I的*右扩展集合*（或*左扩展集合*）*of*gg*in*II集合，使得存在y∈Iy \in I，其中x<yx < y（或x>yx > y）和g(x)<g(y)g(x) < g(y)。证明如果 gg 是连续的，则 II 中 gg 的右（或左）展开集合在 II 中开路，并且如果 ]α,β[]\alpha, \beta[ 是该集合的连通分量1^1，则g(α)=g(β)g(\alpha) = g(\beta) 和 g(x)≤g(α)g(x) \leq g(\alpha) 对应 α<x<β\alpha < x < \beta。

b) 令r1,r2r_1, r_2为两个实数，使得0≤r1<r20 \leq r_1 < r_2。设gg是II上的*递增*连续函数；令E′E'为II中g(x)−r1xg(x) - r_1 x的左扩展集合，g(x)−r2xg(x) - r_2 x的右扩展集合的右扩展集合在E′E'的连通分量的闭包的每个区间中为E′′E''并。如果 μ\mu 是 II 上的勒贝格测度，则使用 a) 显示 μ(E′′)≤r1r2μ(E′)\mu(E'') \leq \frac{r_1}{r_2} \mu(E')。

c) 调用在 II 上定义的有限数值函数 ff 在点 x∈Ix \in I 处的*右上和右下导数*，相应的数

Dr+f(x)=lim sup⁡h→0,h>0(f(x+h)−f(x))/hh D_r^+ f(x) = \limsup_{h \to 0, h > 0} \frac{(f(x + h) - f(x))/h}{h}
Dr−f(x)=lim inf⁡h→0,h>0(f(x+h)−f(x))/hh. D_r^- f(x) = \liminf_{h \to 0, h > 0} \frac{(f(x + h) - f(x))/h}{h}.

类似地，我们称ff在点xx的*左上和左下导数*，分别为数

Dl+f(x)=lim sup⁡h→0,h<0(f(x+h)−f(x))/hh D_l^+ f(x) = \limsup_{h \to 0, h < 0} \frac{(f(x + h) - f(x))/h}{h}
Dl−f(x)=lim inf⁡h→0,h<0(f(x+h)−f(x))/hh. D_l^- f(x) = \liminf_{h \to 0, h < 0} \frac{(f(x + h) - f(x))/h}{h}.

证明如果 ff 是连续的且 递增，则 x∈Ix \in I 的集合其中 Dr+f(x)=+∞D_r^+ f(x) = +\infty 和 x∈Ix \in I 的集合其中 Dl−f(x)<Dr+f(x)D_l^- f(x) < D_r^+ f(x) 对于 μ\mu 具有测度零（对于每个有理数数r>0r > 0（分别对于有理数的每个对(r1,r2)(r_1, r_2)使得0≤r1<r20 \leq r_1 < r_2），考虑x∈Ix \in I的集合使得Dr+f(x)>rD_r^+ f(x) > r（分别Dl−f(x)<r1D_l^- f(x) < r_1和同时Dr+f(x)>r2D_r^+ f(x) > r_2），并应用b））。由此推断，对于几乎每个x∈Ix \in I，ff都承认有限导数（*勒贝格的定理*）（将前面的结果也应用于−f(−x)-f(-x)）。

1^1 Composante connexe，又译为“组件”（GT、I, §11, No. 5）。

解答

尚未写出解答。

被以下引用

无。

引用了

  • I, §11, No. 5 not yet on this site
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