习题 5, § 6

a) 令$\rho$和$\sigma$为$\mathbf{R}$的两个正测度。证明如果对于每个半开区间 $]a, b]$ $\rho([a, b]) = \sigma([a, b])$，则$\rho = \sigma$。

b) 令I为$\mathbf{R}$区间，左端点$\alpha$，右端点$\beta$，$\psi$为递增定义在I上的有限数值函数； 扩展 $\psi$ 至 $\mathbf{R}$ 以任何方式。在阶中，$\psi$适合测度$\varphi_I \cdot \mu$（$\mu$勒贝格测度$\mathbf{R}$），满足以下两个条件成立是必要且充分的：1°要么$\alpha$是有限的，要么$\alpha = -\infty$和$\lim_{x \to -\infty} \psi(x) = -\infty$； 2° $\beta$ 是有限的，或者 $\beta = +\infty$ 和 $\lim_{x \to +\infty} \psi(x) = +\infty$。

假设这些条件已得到验证。对于每个$y \in \mathbf{R}$，令$\theta(y)$为$x \in I$的集合的上界，使得$\psi(x) \leq y$（如果集合为空，则上界等于$\alpha$）。证明$\theta$是有限数值函数、递增且在$\mathbf{R}$右连续。如果$\nu$是$\psi$下$\varphi_I \cdot \mu$的像，则$\nu([a, b]) = \theta(b) - \theta(a)$对于$\mathbf{R}$中的每个半开区间$]a, b]$。

c) 相反，证明对于函数 $\theta$、递增和$\mathbf{R}$ 中的右连续，在 $\mathbf{R}$ 上存在一个且仅有一个正测度 $\nu$，使得 $\nu([a, b]) = \theta(b) - \theta(a)$ 对于每个半开区间 $]a, b]$ $\mathbf{R}$（“由$\theta$定义的$\mathbf{R}$的Stieltjes度量”；写为$\int f \, d\theta$而不是$\int f \, d\nu$）；而且，$\mathbf{R}$上的每一个正测度都可以通过这种方式获得。在什么条件下，测量$\nu$是扩散的？那么$\theta$下的$\nu$的像是多少？