习题 17, § 1

令$\mu$为$T = [0, 1]$、$F$巴纳赫空间$L^1(\mathbf{N})$、$F' = L^\infty(\mathbf{N})$其对偶的勒贝格测度。对于每个$t \in [0, 1[$，令$t = \sum_{n=0}^\infty \xi_n 2^{-n}$为$t$的二元展开；用$f(t)$序列$(\xi_n) \in F'$和集合$f(1) = 0$表示。

a) 证明，对于 $1 \leq p \leq +\infty$，函数 $f$ 属于到空间 $\Lambda_{F'}^p$ (cf. Exer. 16)。

b) 证明$f$对于拓扑$\sigma(F', F)$是可测量的，并且对于这个拓扑，存在步骤函数的序列几乎处处收敛到$f$。

c) 表明$f$对于$F'$上的强拓扑是不可测量的（观察$|f(t) - f(t')| = 1$如果$0 \leq t < t' < 1$）。

d) 证明，在空间$\Lambda_{F'}^p$($1 \leq p < +\infty$)中，$f$不是步骤函数的序列的极限。 （约化只考虑步骤函数，其端点为形式$k/2^n$的间隔特征函数的线性组合（系数在$F'$）；如果$g$是这样一个步骤函数，则表明， Exer 16 b) 的记号，$M_1'(f - g) \geq 1/4$。）

e) 证明在 $F'$ 中不存在 $T$ 的任何映射 $h$，对于强拓扑是可测量的，这样 $f - h$ 就可以忽略不计。 （观察到，对于这样的映射，必然有$N_\infty(h) \leq 1$；然后得到与d）的结果矛盾。）