习题 19, § 1

设 $f$ 是 $T$ 到 $F$ 的$\mu$可标量可积映射。对于每个$z' \in F'$，用函数$\langle f, z' \rangle$中的$L^1(\mu)$中的$u_f(z')$类表示。如果对于每个函数$g \in L^\infty(\mu)$，$\int gf \, d\mu \in F$，我们可以说$f$是*可积的。

a) 为了使 $f$ 标量良好可积，$u_f$ 对于拓扑 $\sigma(F', F)$ 和 $\sigma(L^1, L^\infty)$ 连续是必要且充分的。当这样时，$F'$的每个等连续子集的$u_f$下的像是$L^1$的相对弱紧的子集。特别是：$\alpha)$对于$F'$的每个等连续子集$H'$和每个$\varepsilon > 0$，都存在$T$的紧凑子集$L$，使得$\int_{T-L} |\langle f, z' \rangle| \, d\mu \leq \varepsilon$对于所有$z' \in H'$； $\beta)$ 对于 $F'$ 和每个 $\varepsilon > 0$ 的每个等连续子集 $H'$，都存在一个 $\eta > 0$，这样，对于度量 $\mu(U) \leq \eta$ 的每个开集合 $U \subset T$，对于所有的$\int_U |\langle f, z' \rangle| \, d\mu \leq \varepsilon$ $z' \in H'$（第 V, §5，练习 15）。

b) 假设 a) 的条件 $\alpha)$ 和 $\beta)$ 已被验证，此外，存在子空间 $H \subset L^\infty$，对于拓扑 $\sigma(L^\infty, L^1)$ 是稠密的，使得对于每个函数 $g \in \mathscr{L}^\infty$，其类在$H$，一个有$\int gf \, d\mu \in F$。证明在这些条件下，如果在加法中，$F$ 被假设为“准完备”，则 $f$ 是标量可积的。 （首先约化到$F$完整的情况（对于其原来的拓扑），并观察$g \mapsto \int gf \, d\mu$是$L^\infty$到${F'}^*$的连续线性映射，当$L^\infty$配备拓扑$\tau(L^\infty, L^1)$时和${F'}^*$与拓扑一致收敛于$F'$的等连续子集。）

c) 假设 $f$ 是标量可积的。 证明对于拓扑 $\sigma(F', F)$ 的每个柯西序列 $(z'_n)$，序列 $(u_f(z'_n))$ 在第 1 章的 $L^1$ 中*强*收敛（使用 Exer.25 c）。 IV, §5和Exer。第 16 章 b) V, §5）。 From this, deduce that if $A$ is the image of the unit ball of $L^\infty$ under the mapping $g \mapsto \int gf \, d\mu$, then every Cauchy sequence $(z'_n)$ for the topology $\sigma(F', F)$ is a Cauchy sequence for the topology of uniform convergence in $A$.

d) 由c)推导出，如果$f$是标量可积的，则$F'$的每一个子集在$u_f$下的像对于$\sigma(F', F)$是等连续且可度量的，在$L^1$中是相对强紧的。特别地，如果$F$是Hausdorff局部凸空间$G$的对偶$G'$，如果$F$配备与$F$和$G$之间的对偶性兼容的拓扑，并且如果$G'$中存在可数强稠密子集，则$F' = G$的每个有界子集在$u_f$下的像在$L^1$中相对强紧（将$G$嵌入其对偶中）。