Bourbaki

习题 8, § 1

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积分, VI, p. 58

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

令 FF 是 Hausdorff 局部凸空间，ff TT 的可标量局部可积映射到 FF，这样，对于 TT、∫Kf dμ∈F\int_K f\,d\mu \in F 的每个紧凑子集 KK。

a) 证明如果 ff 基本上是标量可积的，并且如果 FF 是半自反的（或者如果仅仅 σ(F,F′)\sigma(F,F') 的每个柯西序列都收敛于拓扑的 FF，当 TT 在无穷大时可数），那么每函数 g∈L∞g \in \mathscr{L}^\infty ∫gf dμ∈F\int gf\,d\mu \in F。

b) 证明如果FF是准完备的，并且对于FF上的每个连续半范数qq，都有∫∗q(f(t)) dμ(t)<+∞\int^* q(f(t))\,d\mu(t) < +\infty，那么ff是标量可积的，并且∫gf dμ∈F\int gf\,d\mu \in F对于每个函数g∈L∞g \in \mathscr{L}^\infty。

（在这两种情况下，请考虑 TT 的紧凑子集的递增有向集合。）

解答

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