习题 13, § 2

Let $G$ be a Hausdorff barreled space, $F = G'$ its dual; if, when $F$ is equipped with a topology compatible with the duality between $F$ and $G$, $\mathbf{m}$ is a vectorial measure on $T$ with values in $F$, then $\mathbf{m}$ is again a vectorial measure when $F$ is equipped with the strong topology of the dual of $G$.

假设 $\mathbf{m}$ 是基 $\mu$ 的标量；那么当$F$配备拓扑$\tau(F, G)$时，$\mathbf{m}$相对于$\mu$绝对连续（Exer. 12 c））。 In order that $\mathbf{m}$ be absolutely continuous with respect to $\mu$ when $F$ is equipped with the strong topology, it is necessary and sufficient that, for every compact subset $K$ of $T$ and every sequence $(A_n)$ of $\mu$-measurable subsets of $K$, the image $B$ under $\mathbf{m}$ of the closure in $\mathscr{L}^1(\mu)$ of the set of step functions of absolute value $\leq 1$, over the clan generated by the sequence of the $A_n$ (Ch. IV, §4, No. 9)，包含是$G'$的强拓扑的稠密可数子集。 （要看到条件就足够了，约化对于$T = K$是石头空间的情况（第1章） IV, §4，埃克瑟。 10）。 然后通过反证法论证：如果$(A_n)$是$K$的子集的序列，并且既开又闭，我们可以假设，在经过上到$K$的可度量商空间$K_1$（Exer.10 a）），连续$K_1$相应的函数到$\varphi_{A_n}$形式总共集合$\mathscr{C}(K_1)$。 另一方面，考虑到$G$除以与$B$正交的子空间的商，可以假设对于拓扑$\sigma(G', G)$，$B$是$F = G'$的总和；如果$H$是由$B$生成的$F = G'$的子空间，假设则意味着$G$的每个有界子集$C$对于$\sigma(G, H)$都是预紧且可度量的。 因此，$G$的点的每个有界序列$(z_n)$都有一个$\sigma(G, H)$的子序列柯西；证明如果$(z_n)$是$\sigma(G, H)$的柯西序列，并且如果写成$z_n \circ \mathbf{m} = g_{z_n} \cdot \mu$，则$L^1(\mu)$中的$g_{z_n}$的类的序列是拓扑的柯西序列 $\sigma(L^1, L^\infty)$；最后，结论通过使用Exers与此相矛盾。第 15 章和第 16 章 V, §5。）