习题 17, § 2

令$\mu$为$T = [0, 1]$的勒贝格测度； $C(T)$到$M(T)$的映射$f \mapsto f \cdot \mu$对于$M(T)$上的强拓扑是连续的，因此是Banach空间中带有值的矢量测度$m$。 证明$m$是基$\mu$的标量，并且对于强拓扑而言相对于$\mu$绝对连续，但是$m$没有基$\mu$（对于$M(T)$上的强拓扑）。 （观察对于模糊的拓扑$\sigma(M(T), C(T))$，$m$有基$\mu$，并由此推断，如果有$m = g \cdot \mu$，$g$可标量$\mu$可积（对于强拓扑 $M(T)$），几乎所有地方都必然有$g(t) = \varepsilon_t$。 通过注意到证明，对于$T$上的每个有界数值函数$\theta$，线性形式$z' : \lambda \mapsto \sum_{t \in T} \theta(t) \lambda(\{t\})$在$M(T)$上是连续的，但$\langle g, z' \rangle$不一定是$\mu$可测的。）