习题 25, § 2

令 $\mu$ 为 T 的正测度。

a) 令 f 为 T 的标量 $\mu$ 可测量映射到 Banach 空间 F，使得 $f(T)$ 对于 $\sigma(F, F')$ 相对紧凑。证明 F 中存在 $\mu$ 可测量的 T 映射 g，使得 $f - g$ 局部标量可忽略不计。 （将 $L^1(\mu)$ 的映射 $h \mapsto \int fh\, d\mu$ 考虑到 F 中，并将 Exer.24 应用于它，也使用 Ch. IV, §7 的 Exer.10。）

b) 设 f 是 T 的可标量 $\mu$ 可测量映射到 自反 Fréchet 空间 F。证明存在 T 到 F 中的 $\mu$ 可测量映射 g，使得 $f - g$ 在标量上局部可忽略不计（cf.Exer。15 b））。 （约化对于T是紧的情况，使用IV, §5, No. 9章的第14条命题。接下来，将§1到约化的Exer.23 c）应用到$f(T)$有界于F的情况。然后将F嵌入Banach的可数乘积中空间，并使用 a)。）

c) 令 f 为 T 的映射，转换为 Fréchet 空间 F，$\mu$ - 可测量拓扑 $\sigma(F, F')$。证明 f 对于 F 的原始拓扑是 $\mu$ 可测的。（约化对于 T 是紧致的且 f 对于拓扑 $\sigma(F, F')$ 是连续的情况；结论如 b) 中。）