习题 11, § 3

令$K$为可度量紧致空间，$\mu$对$K$、$f$将$K$的$\mu$可测量映射转换为局部紧致空间$T$和$\nu$对 $T$ 采取积极措施； I和$U$与Exer中的含义相同。 10.

a) 假设对于每个 $\mu$-可忽略的集合 $N \subset K$，$f(N)$ 是 $\nu$-可忽略。那么 $U$ $\nu$ 可忽略不计，并且对于每个 $\mu$ 可测量子集 $A \subset K$，$f(A)$ 是 $\nu$ 可测量。

b) 在阶中，$I$可以忽略$\nu$，并且像在每个$\mu$可以忽略的集合可以忽略$\nu$的$f$下，$f$是充分必要的满足以下条件：对于每个$\varepsilon > 0$，都存在一个$\delta > 0$，这样，对于$\mu$可测量的每个子集$A \subset K$，并且$\mu(A) \leq \delta$，$f(A)$是$\nu$-可测量和$\nu(f(A)) \leq \varepsilon$。 （要看出条件是必要的，请通过反证法论证，通过考虑$\mu$可测量的集合的递减序列$(A_n)$，其交是$\mu$可忽略不计，但使得$\nu(f(A_n)) \geq \alpha > 0$；然后取交 $f(A_n)$ 和 $\mathbf{C}I$。）