习题 11, § 1

令 $G$ 为无穷大处可数的非离散局部紧凑群，$\beta$ $G$ 上的左哈尔测度。证明 $e$ 包含的每个紧凑邻域 $V$ 都是 $G$ 的正常子群 $H$，$\beta$ 可忽略不计，并且 $G/H$ 是波兰局部紧凑群。 （可以如下进行：令$L$为由$V$生成的$G$的开子群；令$b_1, b_2, \ldots$为关于$L$的左陪集的代表。形式递减序列$(V_n)$的对称邻域$e$ 使得： 1) $V_n^2 \subset V_{n-1}$; 2) 每$x \in V$$xV_nx^{-1} \subset V_{n-1}$； 3) $b_i V_n b_i^{-1} \subset V_{n-1}$换$1 \leq i \leq n$； 4）$\beta(V_n) \leq 1/n$。 集合$H = V_1 \cap V_2 \cap \cdots$。

令$(f_n)$为数值函数的序列对于$G$的左均匀结构均匀连续。证明 $H$ 可以这样构造：在加法中，$f_n$ 在 $H$ 的陪集上是常数。 （在前面的构造中，对于$x^{-1}y \in V_n$和$1 \leq i \leq n$，取$V_n$使得$|f_i(x) - f_i(y)| \leq 1/n$。）

令$(g_n)$为$\beta$的序列-可积数值函数在$G$上。证明$H$可以这样构造，即在加法中，每个$g_n$几乎处处都等于函数，而函数在$H$的陪集中是常数。