习题 16, § 1

令$G$为紧致阿贝尔的群，$E$为$G$的稠密子集，在$G$的合成的律下稳定。假设，对于$E$上的每个有界数值函数$f$，定义了数$M(f)$，其具有以下性质：对于$E$上的任何两个有界函数$f, g$，对于任何元素 $a_i, b_k$ of $E$ ($1 \leq i \leq m, 1 \leq k \leq n$)，并且对于任何实数 $\alpha_i, \beta_k$ ($1 \leq i \leq m, 1 \leq k \leq n$) 使得

对于所有 $x \in E$，一个人有不等式

假设在加法中$M(1) = 1$ (cf. TVS, IV, 附录)。

a) 令 $\mu$ 为$G$ 的归一化哈尔测度。证明对于 $G$、$\int f d\mu = M(f|E)$ 上的每个连续数值函数 $f$。 （通过考虑单位元的合适划分，通过形式$x \mapsto \sum_i \alpha_i f(xa_i)$的函数，在$E$上近似等于$\int f d\mu$的常数函数，其中$a_i \in E$。）

b) 从a)推导出，如果$E$的每一个子集$B$都有一个集合$\nu(B) = M(\varphi_B)$，那么$\nu(U \cap E) \geq \mu(U)$对于$G$的每个开盘子集$U$，以及对于每个闭盘$\nu(F \cap E) \leq \mu(F)$ 子集$F$共$G$。对于$G$（第IV, §5，Exer.17d））的每个$\mu$四元子集$P$，一个人有$\nu(P \cap E) = \mu(P)$。