习题 21, § 1

a) 令$G$为局部紧凑群，$\mu$为$G$的左哈尔测度。证明如果 $S$ 是 $G$ 的稳定子集，且满足 $\mu_*(S) > 0$，则 $S$ 的内部为非空 (cf. Exer. 20)。特别是，如果 $G$ 的子群 $H$ 具有非零的内部测度，则 $H$ 是 $G$ 的开子群。

b) 如果$G$是紧的，那么$G$的每个稳定子集$S$使得$\mu_*(S) > 0$是$G$的紧开子群（观察$S$的内部是稳定的，并利用Exer.17b））。

c) 假设$G$是紧致的，阿贝尔的是加法写的，并且存在无限阶的$G$元素$a$。证明存在 $G$ 的稳定子集 $S$，使得 $a \in S, -a \notin S$ 和 $G = S \cup (-S)$（使用 Zorn 的引理）；从 b) 推断 $S$ 不可测量，并且 $\mu_*(S) = 0$。