Bourbaki

习题 26, § 1

标签 09ET，永久不变。引用为 [Bourbaki, Tag 09ET]。

积分, VII, p. 85

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

设 G 为局部紧致群，μ\mu G 上的左 Haar 测度，kk 整数 ≥1\geq 1，A 为可积集合。证明对于每个 ε>0\varepsilon > 0，G 中的 e 存在一个具有以下性质的邻域 U：对于 U 中kk 元素的每个有限子集 S，s∈Gs \in G 的集合使得 sS⊂AsS \subset A 具有测度 ≥(1−ε)μ(A)\geq (1 - \varepsilon) \mu(A)。 （约化对于 A 是紧的并且取 U 使得

μ(AU)≤(1−εk−1)μ(A). \mu(AU) \leq \left( 1 - \frac{\varepsilon}{k-1} \right) \mu(A) .

对于 G 的每个有限子集 H，如果 H≠∅H \neq \varnothing，则集合 p(H)=Card(H)p(H) = \mathrm{Card}(H) 和q(H)=1q(H) = 1，如果 H=∅H = \varnothing，则q(H)=0q(H) = 0；通过评估积分

∫Gp(A∩sS) dsand∫Gq(A∩sS) ds, \int_G p(A \cap sS) \, ds \quad \text{and} \quad \int_G q(A \cap sS) \, ds ,

表明，如果对于 h≤kh \leq k，MhM_h 表示 s∈Gs \in G 的集合，其中 Card(A∩sS)=h\mathrm{Card}(A \cap sS) = h，则

∑h=1khμ(Mh)=k⋅μ(A)and∑h=1kμ(Mh)≤μ(AU). \sum_{h=1}^k h \mu(M_h) = k \cdot \mu(A) \quad \text{and} \quad \sum_{h=1}^k \mu(M_h) \leq \mu(AU) .

由此，结论即∑h=1k−1hμ(Mh)≤kε⋅μ(A)\sum_{h=1}^{k-1} h \mu(M_h) \leq k \varepsilon \cdot \mu(A)。

解答

尚未写出解答。

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