习题 27, § 1

令 G 为群在集合 X 上运行。如果对于 G 中的每个 $s \neq e$，都有 $sP \cap P = \varnothing$（或者$X = \bigcup_{s \in G} sC$），则 X 的子集 P（或C）被称为 G 填充（或 G 覆盖）。我们称 G-铺路子集 P 为 G 填充和 G 覆盖。

a) 假设X是局部紧致的，G是可数的，在X连续运算，并且在G下X不变量上存在非零的正测度$\mu$。设P和C是$\mu$可积的G填充和G覆盖。证明$\mu(C) \geq \mu(P)$。 （注意$\mu(C) \geq \sum_{s \in G} \mu(C \cap sP)$。）

b) 假设在加法中存在X上存在与X的拓扑兼容的一致结构，并承认G下开放随缘不变式的基本系统$\mathscr{G}$。另一方面，$\Delta(G)$表示数 $\mu(C)$ 超过 X 的所有可积 G 覆盖物 C。令V是属于到$\mathscr{G}$的随从，并令$a \in X$使得$\mu(V(a)) > \Delta(G)$；表明存在$s \in G$使得$s \neq e$和$(a, sa) \in V^{-1} \circ V$。

c) 假设X是局部紧凑的群，$\mu$是左哈尔测度，G是X的可数子群，通过左平移操作。使用与b)中相同的$\Delta(G)$的定义，证明如果A是X的可积子集且$\mu(A) > \Delta(G)$，则存在$s \in G \cap AA^{-1}$使得$s \neq e$。特殊情况，$X = \mathbf{R}^n$ 和 G 是 $\mathbf{R}^n$ 中秩 n 的离散子群：则 $\Delta(G)$ 等于 G 的基的行列式相对于$\mathbf{Z}$ 的典范基的绝对值 $\mathbf{R}^n$；如果 A 是对称闭凸集合，$\mathbf{R}^n$ 中具有非空内部$^5$，使得$\mu(A) \geq 2^n \Delta(G)$，则表明$A \cap G$ 中存在与 0 不同的点（*Minkowski 的定理*）。

d) 根据 a) 中的假设，令 f 为函数 $\geq 0$ 且 $\mu$ 在 X 上可积。证明X存在两个点$a, b$，使得$\mu(C) \sum_{s \in G} f(sa) \geq \int_X f(x) d\mu(x)$和$\mu(P) \sum_{s \in G} f(sb) \leq \int_X f(x) d\mu(x)$。 （观察到，如果 g 是可积函数 $\geq 0$，E a $\mu$ 可积集合在 X 中，则存在一个 $c \in E$ 使得 $\int_E g(x) d\mu(x) \leq g(c)\mu(E)$，以及一个 $c' \in E$ 使得 $\int_E g(x) d\mu(x) \geq g(c')\mu(E)$。）