习题 12, § 2

a) 设$X$为拓扑空间，$f : X \to \mathbf{N}$为上半连续函数。 令$X_0$为$X$的点的集合，其中$f$是局部常数，并且$Y_0 = X - X_0$。 定义递归两个序列$(X_i)_{i \geq 0}$、$X$子集$(Y_i)_{i \geq 0}$，如下：$X_i$是$Y_{i-1}$点集合其中$f|Y_{i-1}$是局部常数，并且$Y_i = Y_{i-1} - X_i$。 证明$X_i$是$Y_{i-1}$的密集开子集，并且$\bigcap_i Y_i = \varnothing$。

（证明 $f(x) > i$ 位于 $Y_i$ 的每点处。）

b) 设$X$为集合，$H$群在$X$、$\pi$典范映射的右侧运算到$X$到$X/H$和$\mathscr{A}$（分别为$\mathscr{B}$） $A \subset X$ 的集合使得 $\pi|A : A \to X/H$ 是单射（或满射）。令 $(V_1, V_2, \ldots)$ 为 $X$ 与元素的可数覆盖 $\mathscr{A}$。让

证明$F = \bigcup_{i \geq 0} V'_i \in \mathscr{A} \cap \mathscr{B}$。

c) 令$X$为局部紧致空间，$H$为可数离散群，在$X$右侧连续正确地运算，$\pi$典范映射将$X$作用于$X/H$，$\mu$为测度$\geq 0$ $X$。证明如果 b) 的集合 $V_i$ 是四元数 (Ch. IV, §5, Exer. 17 d))，则 b) 的集合 $F$ 是四元基本域。

d) 让我们维持c)的假设，并使用No. 10的记号$H_x, n(x)$。如果$X$中存在$x$的邻域$V$，使得$H_y = H_x$对于所有$y \in V$来说，$x \in X$被称为“一般”。证明 $X$ 的一般点是函数 $n$ 局部恒定的那些。证明一般点承认一个开邻域属于到 $\mathscr{A}$ 并且是四倍数（利用 Ch. IV, §5，Exer. 17 d））。

e) 让我们维持 c) 的假设，并假设 $X$ 在无穷大处是可数的。证明如果 $X - X_0$ $\mu$ 可忽略不计，则存在一个基本域 $F$，它是 Borel 且可四元。 （将a）中的构造应用到函数$n$。然后将c)和d)的结果应用到$X_0$中。在每个 $X_i$ 中进行类似的论证。）

f) 设 $U \in \mathscr{B}$ 为开集合。证明可以对 e) 的集合 $F$ 施加以下补充性质： 1) $F \subset U$； 2) 对于$X$的每个紧凑子集$K$，$s \in H$的集合使得$Fs$与$K$相交是有限的。