习题 4, § 2

令$X$为局部紧致空间，其中局部紧致群$H$连续正确地作用于右侧。令$\beta$为$H$上的左哈尔测度，$\mu$为$X$上的$\geqslant 0$测度。令$h$为$X$上的连续函数$\geqslant 0$，使得$h^b = 1$。如果$f$在$X$上是$\mu$-可忽略的函数$\geqslant 0$，则函数$(x, \xi) \mapsto f(x)h(x\xi)$在$X \times H$上是$(\mu \otimes \beta)$-可忽略。 （存在递减开集合$\Omega_1, \Omega_2, \ldots$使得$\mu(\Omega_n)$趋于0并且$f$在$\Omega_1 \cap \Omega_2 \cap \cdots$之外是零。证明$\int^* \varphi_{\Omega_n}(x)h(x\xi) d\mu(x)d\beta(\xi) \leqslant \mu(\Omega_n)$，在注意到上函数 $(x, \xi) \mapsto \varphi_{\Omega_n}(x)h(x\xi)$ 是下半连续。）