习题 3, § 3

令 X 为局部紧致空间，其中局部紧致群 H 按 $(x, \xi) \mapsto x\xi$ ($x \in X, \xi \in H$) 在右侧连续正确地运算。设$\pi$为典范映射$X \to X/H$。令$\rho$为H在$\mathbf{GL}(n, \mathbf{C})$中的连续表示。证明对于每个 $b \in X/H$，在 X/H 中存在 b 的邻域 U，并且在 $\mathbf{GL}(n, \mathbf{C})$ 中存在 $\overline{\pi}(U)$ 的连续映射 r，使得对于所有 $x \in \overline{\pi}(U)$ 和 $\xi \in H$ 都有 $r(x\xi) = r(x)\rho(\xi)$。 （可以假设 X/H 是紧致的。设 f 是 X 上的连续函数 $\geqslant 0$，而不是任意轨道上的连续零，并且具有紧致支持。集合

其中 $\beta$ 表示 H 上的左 Haar 测度。表明，对于适当选择的 f 和 U，对于每个 $x \in \overline{\pi}(U)$，$r(x) \in \mathbf{GL}(n, \mathbf{C})$。