习题 1, § 2

令 $(G_\ell)_{\ell \in I}$ 成为局部紧致群的族，几乎所有的都是紧致的。令 $U_\ell$ 为 $G_\ell$ 在局部凸空间 $E_\ell$ 中的连续线性表示。对于每个 $s = (s_\ell) \in G = \prod_\ell G_\ell$，令 $U(s)$ 为 $E = \prod_\ell E_\ell$ 的自同态 $(x_\ell) \mapsto (U_\ell(s)x_\ell)$。证明$U$是$G$在$E$中的连续线性表示。令$E'$为$E_\ell$的拓扑直和。设$V(s)$为$U(s)$到$E'$中的限制。证明$V$是$G$在$E'$中的连续线性表示。

$^1$ saillant 的翻译（TVS，II, §2, No. 4）。