习题 8, § 2

标签 09J8，永久不变。引用为 [Bourbaki, Tag 09J8]。

积分, VIII, p. 61

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令 G 为局部紧致阿贝尔的群， $\mu$ G 上的 Haar 测度， $f$ G 上的 $\mu$ 可测有限数值函数。假设对于每个 $s \in G$ ，数值函数

x \mapsto f(sx) - f(x)

在 G 上连续。证明

f

是连续的。（通过反证法；假设函数

f

在点

x_0 \in G

处不连续，首先证明G上存在一个过滤器

\mathfrak{F}

与极限

e

使得

\lim_{\mathfrak{F}, s} |f(sx_0)| = +\infty,

并由此推导出对于每个

x \in G

也有

\lim_{\mathfrak{F}, s} |f(sx)| = +\infty

。如果

g = |f|/(1 + |f|)

，从最后的结果推导出与以下事实的矛盾：对于每个紧凑子集

K \subset G

，

\lim_{\mathfrak{F}, s} \int_K |g(sx) - g(x)|\, d\mu(x) = 0.)

解答

尚未写出解答。

被以下引用

无。

无。