习题 13, § 3

令$r$为数，使得$0 < r < 1$；对于每个整数$n \geq 1$，用$\lambda_{n,r}$表示$\mathbf{R}$上的$(\varepsilon_{r^n} + \varepsilon_{-r^n})/2$度量，以及集合$\mu_{n,r} = \lambda_{1,r} * \lambda_{2,r} * \cdots * \lambda_{n,r}$。

a) 证明序列$(\mu_{n,r})$在$\mathbf{R}$上模糊地收敛到$\mu_r$，并包含$I = [-1, +1]$中的支持（证明对于$\mathbf{R}$的每个区间U，序列$(\mu_{n,r}(U))$收敛）。

b) 证明对于$r < 1/2$，测度$\mu_r$与$\mathbf{R}$上的勒贝格测度不同，但$\mu_{1/2}$是由勒贝格测度在I上导出的测度。

c) 令$\nu_{1/4}$为$\mathbf{R}$中位似$t \mapsto 2t$下的$\mu_{1/4}$中的像。证明$\mu_{1/4} * \nu_{1/4} = \mu_{1/2}$，甚至虽然，$\mu_{1/4}$和$\nu_{1/4}$都与勒贝格测度无关（使用Exer.11a））。