Bourbaki

习题 3, § 3

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积分, VIII, p. 62

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

对于x=(x1,…,xn)∈Rnx = (x_1, \ldots, x_n) \in \mathbf{R}^n一个集合∣x∣2=x12+⋯+xn2|x|^2 = x_1^2 + \cdots + x_n^2。令M1\mathscr{M}_1为Rn\mathbf{R}^n上测度μ\mu的集合，其中存在实数kk，使得函数(1+∣x∣2)k(1 + |x|^2)^k可积μ\mu。令M2\mathscr{M}_2为Rn\mathbf{R}^n上ν\nu测度的集合，其中函数(1+∣x∣2)k(1 + |x|^2)^k对于每个kk可积ν\nu。证明如果μ∈M1\mu \in \mathscr{M}_1和ν∈M2\nu \in \mathscr{M}_2，则μ\mu和ν\nu可卷积，且μ∗ν∈M1\mu * \nu \in \mathscr{M}_1；如果μ∈M2\mu \in \mathscr{M}_2和ν∈M2\nu \in \mathscr{M}_2，则μ∗ν∈M2\mu * \nu \in \mathscr{M}_2。 （首先表明如果 u≥0, v≥0u \geq 0,\ v \geq 0，那么

(1+u2)(1+v2)≥13(1+(u+v)2); (1 + u^2)(1 + v^2) \geq \frac{1}{3}(1 + (u + v)^2);

由此可知，对于Rn\mathbf{R}^n中的任何x,yx, y，

1+∣x∣2≤3(1+∣y∣2)(1+∣x+y∣2). 1 + |x|^2 \leq 3(1 + |y|^2)(1 + |x + y|^2).

然后让 μ∈M1, ν∈M2\mu \in \mathscr{M}_1,\ \nu \in \mathscr{M}_2 与 μ≥0, ν≥0\mu \geq 0,\ \nu \geq 0。设ff是Rn\mathbf{R}^n上的连续函数≥0\geq 0。存在一个 kk，使得 μ=(1+∣x∣2)k⋅μ1\mu = (1 + |x|^2)^k \cdot \mu_1 与 μ1\mu_1 有界；让ν1=(1+∣x∣2)k⋅ν\nu_1 = (1 + |x|^2)^k \cdot \nu，它是有界的。然后

∫∗f(x+y) dμ(x) dν(y)≤3k∫∗(1+∣x∣2)kf(x) d(μ1∗ν1)(x). \int^* f(x + y)\ d\mu(x)\ d\nu(y) \leq 3^k \int^* (1 + |x|^2)^k f(x)\ d(\mu_1 * \nu_1)(x).

从而 μ\mu 和ν\nu 的可卷积性以及μ∗ν∈M1\mu * \nu \in \mathscr{M}_1 的事实。以类似的方式论证M2\mathscr{M}_2中的μ,ν\mu, \nu。

解答

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