习题 6, § 3

a) 设 $I = [0, 1]$。设$f$是$\mathbf{R}$上的连续函数$\geq 0$，$[-1, 0]$包含支持。证明函数$\gamma(s)f|I\ (s \in I)$的集合在$\mathscr{K}(I)$中有无穷大的秩。

b) 设$f_1, \ldots, f_n$在$\mathscr{K}(\mathbf{R})$中。令 $M$ 为 $\mu \in \mathscr{M}(I)$ 的度量集合，使得 $\mu(f_1) = \ldots = \mu(f_n) = 0$。证明函数 $y \mapsto \int f(x + y)\ d\mu(x)\ (y \in I)$ 的集合（其中 $\mu$ 超过 $M$）在 $\mathscr{K}(I)$ 中具有无穷大的秩。 （利用a。）

c) 令$g_1, \ldots, g_p$位于$\mathscr{K}(\mathbf{R})$中。由b)推导出存在$\mu \in M$和$\nu \in \mathscr{M}(I)$使得$\nu(g_1) = \ldots = \nu(g_p) = 0$，$(\nu * \mu)(f) \neq 0$。

d) 由c)推导出$\mathscr{M}(T) \times \mathscr{M}(T)$到$\mathscr{M}(T)$的映射$(\mu, \nu) \mapsto \nu * \mu$不是模糊连续的。