Bourbaki

习题 1, § 4

标签 09L6，永久不变。引用为 [Bourbaki, Tag 09L6]。

积分, VIII, p. 65

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

令 G 为局部紧致群，β\beta G 上的左 Haar 测度，A 为 G 的 β\beta 可测子集，以及 G 上的 ν\nu 非零的正测度。假设 sA 对于每个 s∈Gs \in G 是局部 ν\nu 可忽略的。证明 A 局部β\beta-可忽略不计。 （约化对于A相对紧且ν\nu有界的情况。证明ν\nu和φA⋅β\varphi_A \cdot \beta是可卷积的，并且ν∗βφA=0\nu * \beta \varphi_A = 0，从而0=∥ν∗φA⋅β∥=∥ν∥⋅∥φA⋅β∥0 = \| \nu * \varphi_A \cdot \beta \| = \| \nu \| \cdot \| \varphi_A \cdot \beta \|。）证明，在承认连续统假设时，如果不假设A，这个结果可能不成立β\beta-可测量。 （取 G=R2G = \mathbf{R}^2，取 ν\nu 子群 R×{0}\mathbf{R} \times \{0\} 的 Haar 测量，并应用第 1 章的 Exer. 7 c）。 V, §8。）

解答

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