习题 10, § 4

令$G$为局部紧致群，$\beta$为$G$的左哈尔测度。对于任意两个$\beta$可积集合$A, B$集合$\rho(A, B) = \beta(A \cup B) - \beta(A \cap B)$。 a) 设$A$为$\beta$可积集合。证明$x \mapsto \rho(xA, A)$是连续的函数。 b) 设$U$是$e$的邻域。证明存在紧集 $A$ 和数 $\varepsilon > 0$，使得 $\rho(xA, A) < \varepsilon$ 蕴含 $x \in U$。 （取 $A$ $e$ 的邻域，使得 $A \cdot A^{-1} \subset U .$） c) 为了使$G$的子集$C$相对紧，存在$\beta$可积集合$A$和数$a$($0 < a < 2\beta(A)$)是必要且充分的，使得$x \in C$蕴涵$\rho(xA, A) \leq a$。