习题 11, § 4

a) 令 $G$ 为由 $e$ 的紧邻域生成的局部紧致群。令$\varphi$是$G$属于的非满射连续自同态到$G$的（双连续）自同构的群$\mathscr{G}$的紧致收敛的拓扑的闭包。然后$\lim_{\psi \in \mathscr{G}, \psi \to \varphi} \mod \psi = 0$。 （令$K$为$e$的紧邻域，生成$G$。令$\mu$为$G$上的左哈尔测度。如果$\mu(\varphi(K)) > 0$，则$\varphi(K) \cdot \varphi(K)^{-1}$是$e$在$G$的邻域，因此$\varphi(G)$是$G$的开子群；对于$\psi \in \mathscr{G}$足够接近$\varphi$，有$\psi(K) \subset \varphi(G)$，因此$\psi(G) \neq G$，因此$\mu(\varphi(K)) = 0$，因为$\psi \in \mathscr{G}$趋于$\varphi$， $\mu(\psi(K))$趋于0。） b) 设$G$为自由阿贝尔的群、直和$G_1 \oplus G_2 \oplus \cdots$，其中每个$G_i$与$\mathbf{Z}$同构。将 $G$ 视为离散的。令$\varphi$为$G$的非满射自同态$(x_1, x_2, \ldots) \mapsto (0, x_1, x_2, \ldots)$。那么，对于紧收敛的拓扑，$\varphi$是$G$的自同构的极限，并且$G$的每个自同构都有模1。