习题 18, § 4

记号和约定是 Exer 的约定。 15.

a) 令$\mu$为G上的有界测度，其支持包含至少两个不同的点。证明存在紧集 K 和数 k 使得 $0 < k < 1$，其中 $\| \varphi_{sK} \cdot \mu \| \leq k \| \mu \|$ 对于所有 $s \in G$。 （如果$t, t'$是支持$\mu$的两个不同的点，则将e的邻域K取为足够小，使得sK不能与tK和t'K相交。）

b) 令$\mu$为G上的有界测度$\geq 0$，其支持包含至少两个不同的点。证明存在函数 $f \in L^\infty(G, \beta)$，不等于函数 $\geq 0$，这样对于 $\beta$，$\mu * f$ 几乎处处都是 $\geq 0$。 （使用a），令f在K上等于$-1$，在$\mathbf{C}K$上等于合适的正常数。）如果在加法中，$\mu$的支持是紧的，则存在具有上述性质且具有紧支持的函数$f$。

c) 令$\mu_1, \mu_2$为两个非零的，G上有界正测度，可置换卷积，使得$\mu_1$的支持K是紧凑的并且包含e。 集合$\mu = \mu_1 + \mu_2$。设V是e包含K的对称紧邻域，g函数在$\mathbf{C}V$上等于$\mu * \varphi_V$，在V上等于0；证明函数 $\mu * (g - (\mu_1 * \varphi_V))$ 在 $\mathbf{C}(V^2)$ 中几乎所有地方都是 $\geq 0$。另一方面，证明存在紧集 H，使得函数$\mu_2 * \varphi_H$在$V^2$中几乎处处都是$\geq 0$。

d) 从c)推导出，如果$\mu$是$G$上的有界正测度，其支持包含至少有两个不同的点，则存在函数$f$，属于对于每个$L^p(G, \beta)$（$1 \leq p \leq +\infty$），不等于函数 $\geq 0$，并且当人们在加法中做出以下假设之一时，$\mu * f$ 几乎在任何地方都是 $\geq 0$： $\alpha)$ $G$ 是阿贝尔的； $\beta)$ 存在点 $a \in G$ 使得$\mu(\{a\}) > 0$。 （适当地将$\mu$分解为两个可置换测度$\geq 0$的和。）