习题 26, § 4

令$G$为局部紧致群，$\beta$为$G$的左哈尔测度。为了使$L^p(G, \beta)$（$1 \leq p < +\infty$）的子集$H$相对紧凑（对于阶$p$均值收敛的拓扑），满足以下条件是必要且充分的： $1^\circ$ $H$ 以$L^p(G, \beta)$为界；对于每个$\varepsilon > 0$，$2^\circ$，存在$G$的紧凑子集$K$，使得对于每个函数$f \in H$有$\|f \varphi_{G-K}\|_p \leq \varepsilon$；对于每个$\varepsilon > 0$，$3^\circ$，在$G$中存在$e$的邻域$V$，使得$\|\gamma(s)f - f\|_p \leq \varepsilon$对于所有$f \in H$和$s \in V$。 （为了证明条件是充分的，请观察如果$g \in \mathscr{K}(G)$和$L$是$G$的紧凑子集，则像，在映射$f \mapsto g * f$下，集合$\varphi_L \cdot H$，是一个子集等于 $\mathscr{K}(G)$。）