习题 27, § 4

令$G$为局部紧致群，$\beta$为$G$的左哈尔测度。如果$G$没有减少到$e$，则$L^1(G, \beta)$是代数（对于卷积），承认零的除子不为0。可以按照如下方式处理$L^1(G, \beta)$的形式两个非零元素$f, g$，使得$f * g = 0$： $1^\circ$ $G$ 包含一个紧致的子群 $H$，不简化为$e$，其中$\Delta(x) = 1$。取$f$为集合$A$的特征函数，$g$为两个特征函数的差$\varphi_{sB} - \varphi_B$，适当选择$A$和$B$。 $2^\circ$ $G = \mathbf{Z}$ 的情况。表明人们可以采取

对于所有 $n \in \mathbf{Z}$ 和 $g(n) = f(-n)$。 $3^\circ$ 一般情况。首先证明$G$中存在$a \neq e$使得$\Delta(a) = 1$。由$a$生成的子群的$G$中的闭包$H$则可以是与$\mathbf{Z}$同构的紧凑子群或子群（GT，V, §1，Exer.2）。第一种情况，使用$1^\circ$的结果；在第二个中，采取 在$2^\circ$的帮助下适当选择$U$和序列$(\alpha_n), (\beta_n)$。