习题 1, § 5

令$X$为$X$的闭子集的局部紧凑空间、$\mathfrak{F}$（或$\mathfrak{F}(X)$）集合。对于$X$的每个紧凑子集$K$，$K$的每个紧凑邻域$L$，以及$L$的独特制服结构的每个随从$V$，令$Q(K, L, V)$为对的集合 $\mathfrak{F}$满足元素$(A, B)$两个条件

a) 显示集合 $Q(K, L, V)$ 形式 $\mathfrak{F}$ 上 Hausdorff 制服结构的基本随从人员系统。

b) 令$\mathscr{U}$为与$X$的拓扑兼容的统一结构。对于$X$的每个紧凑子集$K$和$\mathscr{U}$的每个随行$W$，令$P(K, W)$为$\mathfrak{F}$满足对$(A, B)$集合两者条件

证明集合 $P(K, W)$ 形式是 a) 中定义的制服结构的基本随行人员系统。

c) 令$X'$为$X$、$\omega$点在$X'$无穷大处的Alexandroff紧化；对于$X$的每个闭子集$A$，让$A' = A \cup \{\omega\}$。证明映射$A \mapsto A'$是a)中定义的均匀空间$\mathfrak{F}(X)$的同构到由闭子集包含$\omega$形成的$\mathfrak{F}(X')$的子空间上（利用b））。由此推断 $\mathfrak{F}(X)$ 是紧致的（cf. GT，II, §4，Exer.15）。