习题 17, § 1

假设$K$是域。令 $T$ 为不定且 $L = K((T))$； $L$ 具有规范的估值（正式幂级数的阶），这使其成为完整估值的域。

(a) 设 $V$ 为有限维向量空间大于 $K$。那么 $V_{(L)}$ 就具有规范的完整可度量拓扑向量空间结构 (拓扑向量空间, 章 I, § 2, no. 3, 定理 2)。令$(x_p)_{p \in \mathbf{Z}}$是$V$的元素族，使得$p$的$x_p = 0$小于某个有理数整数。那么级数$\sum_{-\infty}^{+\infty} x_p T^p$收敛于$V_{(L)}$，$V_{(L)}$的每一个元素都可以用这种方式唯一地表达。 （取$V$中的基。）

(b) 向量空间 $\mathscr{L}_L(V_{(L)}) = \mathscr{L}_K(V)_{(L)}$ 具有规范的完全可度量拓扑向量空间结构。 $V_{(L)}$的每个自同态都可以用形式$\sum_{-\infty}^{+\infty} u_p T^p$唯一地表达，其中$u_p \in \mathscr{L}_K(V)$和$u_p$是零，因为$p$小于某个有理数整数。

(c) 如果 $K$ 的特征为 0 且 $u \in \mathscr{L}_K(V)$，我们写

如果$x \in V$使得$ux = 0$，则$e^{T u} . x = x$。

(d) 如果 $W$ 是另一个有限维向量空间超过 $K$ 和 $v \in \mathscr{L}_K(W)$，则$e^{T(u \otimes 1 + 1 \otimes v)} = e^{T u} \otimes e^{T v}$。

(e) 由(c)和(d)推导出，如果$V$有一个（不一定结合）代数结构且$u$是$V$的推导，则$e^{T u}$是代数的自同构 $V_{(L)}$。