习题 4, § 1

(a) 假设 2 在 $K$ 中可逆。令 $a$ 为李代数超过 $K$。在 $K$-模块 $a' = a \times a$ 上，我们将定义放在公式的括号中：

那么$a'$是李$K$代数，映射$x \mapsto \frac{1}{2}(x, x)$、$x \mapsto \frac{1}{2}(x, -x)$是$a$的同构到$a'$的理想$b, c$，其中$a'$是直和。 （考虑 $K$ 的二次方扩张 $K'$ 与基 1 和 $k$，其中 $k^2 = 1$。形式 $a_{(K_1)}$，然后将标量的环限制为 $K$。然后观察$\frac{1}{2}(1 + k)$、$\frac{1}{2}(1 - k)$ 是 $K'$ 和 $(1 + k)(1 - k) = 0$ 的幂等。）

(b) 令$a$为实数李代数、$g = a_{(\mathbf{C})}$和$b$，通过将标量的域限制为$\mathbf{R}$，从$g$导出实数李代数。证明$b_{(\mathbf{C})}$与$a'_{(\mathbf{C})}$同构的，其中$a'$是(a)中引入的代数。 （将$V = \mathbf{C} \otimes_{\mathbf{R}} \mathbf{C}$视为向量空间超过$\mathbf{C}$除以$(z \otimes z')z'' = z \otimes z'z''$。观察$V$是由$1 \otimes 1$和$i \otimes i$生成的$V$的真实向量子空间的复杂化，并且这个子空间与 $\mathbf{R}$ 的二次方扩张进行识别，其中基 1 和 $k$，其中 $k^2 = 1$。）