习题 7, § 1

令 A 为环（可能没有单位元），使得 A 中的关系 $2a = 0$ 意味着 $a = 0$。令 U 为 A 的子环以及与 A 相关的李 $\mathbf{Z}$ 代数的理想。

(a) 如果 $x, y$ 属于为 U，则 $(xy - yx)A \subset U$ （写：

和$A(xy - yx)A \subset U$（写：

(b) 假设 U 是可交换的。令$x \in U, s \in A$和$y = xs - sx$。证明 $(yt)^3 = 0$ 对于所有 $t \in A$。 （元素 x 与 $xs - sx$ 和 $xs^2 - s^2x$ 通勤；推论出 $2(xs - sx)^2 = 0$、从而 $y^2 = 0$。同样，$(yt - ty)^2 = 0$ 对于所有 $t \in A$。）

(c) 假设此后 A 的唯一两侧理想是 {0} 和 A，并且对于 A 的每个非零元素 $y$，都存在 $t \in A$，使得 $yt$ 不是幂零的。证明，如果 $U \neq A$，U 包含在 A 的中心中。（使用 (a) 显示 U 是可交换的，然后使用 (b)。）

(d) 令V为与A相关的李$\mathbf{Z}$代数的理想。则V包含在A的中心或$V \supset [A, A]$中。 （将 (c) 应用于 $t \in A$ 的集合 U，使得 $[t, A] \subset V$；使用恒等式 $[xy, z] = [x, yz] + [y, zx]$。）